數(shù)學(xué)題，要用到極限

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第三問(wèn)，如圖，答案是m＜-1
-1怎么來(lái)的？
答案直接說(shuō)了m在[-1，0)的情況無(wú)C關(guān)系
(-∞，-1)有C關(guān)系
但是-1怎么來(lái)的？

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高中數(shù)學(xué)，建議連夜逃跑

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畫(huà)個(gè)圖，看sin區(qū)間xy范圍

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在區(qū)間上存在x，滿(mǎn)足f(x)=-g(x)，則xe^x+msinx=0在0~pi在開(kāi)區(qū)間上有解，發(fā)現(xiàn)0的時(shí)候是0，pi的時(shí)候大于0，那么首先就是要求導(dǎo)了，看端點(diǎn)處的增減性，因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，(x+1)e^x+mcosx可以直接代端點(diǎn)的值，先看x=0，1+m，再看x=pi，(pi+1)e^pi-m，這種函數(shù)存在局部保號(hào)性，也就是說(shuō)0的時(shí)候，如果先遞減，后面再遞增，就能保證至少存在一個(gè)零點(diǎn)，而這個(gè)函數(shù)永遠(yuǎn)大于xe^x+m，該函數(shù)單調(diào)遞增，且無(wú)窮處無(wú)極限，所以首先可以得到m<-1時(shí)，在0端點(diǎn)的右鄰域存在一個(gè)點(diǎn)，使得xe^x+msinx小于0。pi端點(diǎn)處同理，連續(xù)函數(shù)有局部保號(hào)性，pi那邊存在一個(gè)左鄰域函數(shù)值都是大于0的，所以只需要保證前面一段有小于0的就行，這樣就是充分條件了。為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，我們考慮一下先增可不可以，直接分離參數(shù)得到-xe^x/sinx，該函數(shù)是可以趨近于負(fù)無(wú)窮的，該函數(shù)求導(dǎo)之后得到e^x(-x+xcotx-1)/sinx，很明顯我們只用看括號(hào)里面的就可以判斷增減性，-x+xcotx-1>0在0到pi上求解，這塊確實(shí)需要用一下等價(jià)無(wú)窮小，x趨近于零的時(shí)候，極限是0，在該區(qū)間上該函數(shù)單調(diào)遞減，取pi的時(shí)候達(dá)到負(fù)無(wú)窮，所以導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒小于0，所以原函數(shù)在該區(qū)間上就單調(diào)遞減了，0處取最大值，x=0，用等價(jià)無(wú)窮小得到-1，這樣就做完了。前面是目測(cè)，后面是實(shí)際計(jì)算。當(dāng)然也可以不用分離參數(shù)，但是這樣就要多求幾次導(dǎo)了