怎么證明

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在一張長方形的桌面上放了n個(gè)一樣大小的圓形硬幣。這些硬幣中可能有一些不完全在桌面內(nèi)，也可能有一些彼此重疊；當(dāng)再多放一個(gè)硬幣而它的圓心在桌面內(nèi)時(shí)，新放的硬幣便必定與原先某些硬幣重疊。請(qǐng)證明整個(gè)桌面可以用4n個(gè)硬幣完全覆蓋。

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用手解決根據(jù)物理學(xué)原理中的力學(xué)，只要力氣夠大，就足以把硬幣震起來，但是前提必須硬幣夠多且在用手震動(dòng)時(shí)，硬幣基本不掉在地上。

211169

如何理解完全覆蓋呢？我是假設(shè)一個(gè)特殊化模型，有一個(gè)正方形桌子(正方形是特殊的長方形)然后里面的最中央放置了1枚硬幣。此后再代入題目中的條件，并假設(shè)放入的硬幣最少能剛剛觸碰到原有的硬幣。假設(shè)硬幣的半徑為r，由上述條件可得正方形桌面邊長為4r，所以4枚硬幣剛好能填滿(不知是否能滿足完全覆蓋)特殊條件都能滿足所以一般條件也能滿足

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假設(shè)硬幣半徑為1。

先考慮n等于1的情況，也就是先研究一個(gè)硬幣的情況下，桌子上再放一個(gè)硬幣就會(huì)重疊，所以桌子面積最大為邊長2√2的正方形，如圖1。
此時(shí)4個(gè)硬幣可以如圖2所示剛好覆蓋住，計(jì)算可得4個(gè)硬幣的邊緣交點(diǎn)分別為正方形每條邊中點(diǎn)和幾何中心。
而桌子若更小則當(dāng)然可以覆蓋。
當(dāng)n不等于1時(shí)，如圖3（比如桌子面積為一個(gè)邊長接近但不等于4√2的長方形，最少n為4），便可以劃分為四個(gè)n等于1的情況來考慮。而若n大于4（初始硬幣更多時(shí)），自然也可以覆蓋。
同理可證n等于任何數(shù)時(shí)，4n個(gè)硬幣都能覆蓋桌子。
（不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明過程，省略了許多無需贅述的細(xì)節(jié)）