由于 [數學趣題] 小球概率 ，發現好多人對條件概率仍不理解，容易出現誤解，因此在這里簡單介紹一下條件概率。
一·什么是概率
這個問題其實沒有看起來這么簡單。一般來說，認為概率是描述某個事件發生的可能性的屬性。如果一個實驗可以無限重復，我們取某事件發生的次數除以實驗的總次數的值稱為頻率，那么實驗次數越多則頻率越接近概率（感興趣的可以了解一下大數定律）。但是這種求概率的前提是，概率是一個確定的值，實驗是由概率決定結果，我們事先不知道概率大概是多少，然后根據實驗不斷去用頻率收斂。但是如果實驗次數不夠多，那么很有可能得到很離譜的結論。比如一個硬幣，我們連續扔五次都是正面朝上，那么頻率派就會認為硬幣正面朝上的概率是1。
而貝葉斯派反過來認為，實驗的結果是確定的常量，而概率是一個隨機變量，概率表示事件的可信程度，是建立在對事件認知的已有基礎上的。比如一個硬幣，貝葉斯派一開始認為硬幣正面朝上的概率是0.5（也可以是其他值），那么連續五次扔出正面朝上后，這個概率則可以用貝葉斯公式修正到一個0.5~1之間的數。
可以用烏鴉悖論來區分，考慮命題所有的烏鴉都是黑色的，那么它的逆否命題是所有不是黑色的東西都不是烏鴉，逆否命題顯然與原命題等價。如果我們看了成千上萬個烏鴉，都是黑色的，根據頻率派的觀點，原命題顯然是正確的。而貝葉斯派的先驗概率也會再不斷地后驗修正中得到一個較高的分布。那么如果我們看到了一個紅色的蘋果，是否可以認為原命題的可信度上升。根據頻率派的觀點，原命題正確的概率是一個定值，因此不會受到紅色蘋果的影響，而貝葉斯派的看法則會認為原命題可信度上升，這個你可以在后面講到貝葉斯公式后嘗試看看。
二·條件概率
事件A和事件B各自有一個發生的概率，那么在事件A發生的條件下事件B發生的概率則稱為條件概率，記為P(B|A)。
舉個例子，將一枚硬幣拋擲兩次，事件A為至少有一次正面朝上，事件B為兩次正面朝上，那么P(B|A)為多少。
我們先考慮扔兩次的樣本空間，正面朝上記為1，反面朝上記為0，則樣本空間為{11,10,01,00}，這是一個古典概型（即等概率發生，很重要，很多錯誤就是因為盲目確定古典概型），而A為{11,10,01},B為{11}，那么P(B|A)可以確定為P(AB)/P(A)=1/3（其中AB是A，B同時發生的概率，這里即為11），這里容易有一個誤區把P(B|A)當成P(B)/P(A)。
因此我們可以得到P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(AB)=P(B|A)P(A)
如果我們能得到樣本空間的一個劃分B1,B2,...,Bi，劃分即兩兩不重合且全部并集為整個樣本空間，如上面的{11,10,01,00}，其中，11,10,01,00就是樣本空間的一個劃分。那么如果P(A）不容易求得，我們可以發現P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABi)=P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)
那么我們就可以得到一個求條件概率的公式，P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)]，這個公式我們稱為貝葉斯公式。
回到我們一開始的題目，一開始有6個小球，隨機分配到三個盒子里，三個藍我記為0，三個紅我記為1。為防止搞錯，因此我這里用相對直觀的枚舉討論古典概型。實際上，我們只要考慮三個1三個0的全排列，然后把前兩個記為第一個盒子，中間兩個記為第二個盒子，最后兩個記為第三個盒子，然后隨機取一個盒子直接選第一個盒子（三個盒子等價），那么即可得到紅紅、紅藍、藍藍的概率比。
000111,001011,010011,100011,001101,010101,100101,001110,010110,100110,011001,101001,011010,101010,011100,101100,110001,110010,110100,111000
其中兩藍我用藍色標出，兩紅我用紅色標出，顯然藍藍：藍紅：紅紅是4:12:4=1:3：1
如果換個角度考慮，第一個是藍的概率是1/2,那么第二個是2/5，藍藍就是1/5,紅紅也是1/5，因此即為1:3:1
這里我在原貼由于第二個忘記去掉一個球導致得到了錯誤的1:2：1的結論。
然后簡單貝葉斯，A取為隨機拿出一個球為紅球，Bi定為兩個球都是紅球，那么P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+...+P(A|Bi)P(Bi)]=(1*1/5)/(1*1/5+1/2*3/5)=2/5
因此答案為2/5
練習題
假設生男孩和生女孩的概率都是50%，一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個女兒，那么另一個是男孩的概率是多少。 |
