【簡單物理入門】運動（3）

113602

零·三角函數的導數與復合函數求導
        根據我們第一篇中導數的定義，可以得到sin' x=[sin(x+△x)-sin x]/△x=(sin x cos△x+cos x sin△x-sin x)/△x
        當△x趨近于0的時候，cos △x趨近于1，sin △x趨近于△x （一階小量）
        因此sin' x=cos x
        同理可以算出 cos' x=-sin x，過程可以當做練習。
        導數四則運算。
        [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
        [f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
        [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
        如果函數為復合函數，f'[g(x)]=f'(x)*g'(x)，
        因此我們可以計算 tan' x=(sin x/cos x)'=(sin' x cos x-sin x cos' x)/(cos x)^2=1/(cos x)^2
       
一·加速度
        速度是位置的變化率，那么加速度就是速度的變化率，只要速度對時間再求一階導就可以算出加速度了。
        假設物體勻加速直線運動，x=2t^2,那么我們求一階導，v=4t，再求一階導 a=4，可以得出該物體是初速度為0，初位置為0，加速度為4的勻加速直線運動。
       
二·自由落體和平拋運動
        自由落體是初速度為0，只受重力影響有一個向下的加速度，重力加速度用 g 表示，一般取 g=9.8m/(s)^2,
        我們反過來，由加速度推下落距離。y取向下為正
        初速度為0，初位置為0，t時刻的速度很好判斷，v=gt，因為這是一個勻加速直線運動，所以 v 和 t 成正比。
        v是變速，這個時候求位移一般要通過積分，但是我還沒講，這里我們利用 v 和 t 成正比的特點，作個v-t圖，顯然，每一時刻經過的距離就是v-t曲線下所圍的面積，那么經過t，下面所圍的面積是一個三角形，因此 y=0.5vt=0.5gt^2,
        平拋運動則是自由落體的同時給物體一個水平的初速度v0，根據我們上一章所講的速度合成與分解，可以輕易地把運動分解為水平勻速直線運動和豎直自由落體的合成，得到x=v0t,y=0.5gt^2

三·角速度
        在有些時候，物體的運動不一定是直線，或者分解成直線運動很麻煩，我們可以從角度去分析。將物體和參照物連線，經過時間t，再連線，兩個連線間轉過的角度就是角位移，記作θ，那么角速度就是角位移除以時間t，ω=θ/t，其余類似的都可以近似直線運動的位移和速度去分析。

四·勻速圓周運動
        勻速圓周運動指在圓周上往一個方向以恒定速度 v運動。
        那么當角度為θ時，x=r cosθ，y=r sinθ，對x,y分別求導得到x,y方向的速度，（注意vx=-r sinθ,vy=r cosθ是錯的，因為我們不是對θ求導而是對t求導，因此得到的結果根據復合函數求導法則還要再乘一個角度對時間的求導也就是角速度），vx=-ωr sinθ，vy=ωr cosθ，根據速度的合成v,vx,vy是一個直角三角形，根據勾股定理，v^2=vx^2+vy^2=(ωr)^2，v=ωr，我們得到了角速度與速度和半徑的關系。
        v再對時間t求一階導，ax=-ω^2*r cosθ,ay=-ω^2*r sinθ，勾股合成 a=ω^2*r，也就是說加速度等于角速度的平方乘半徑，你畫一下圖也可以發現這個加速度的方向始終指向圓心，如果不想畫圖就取θ=0，ax=-ω^2*r，ay=0，發現在0位置加速度指向圓心，沒有切向加速度，根據對稱性可以知道加速度始終指向圓心，這就是向心加速度。

習題
岸邊有一小船，岸角上有一個定滑輪，岸比水面高H，小船離岸邊水平距離L，小船一頭接繩子繞過滑輪被岸上的人以速度v拉著走，求：
（1）小船的速度
（2）小船的加速度

本題為我初入高中時加入物理興趣小組選拔試題的壓軸題，第二小題有一定難度（對于初中生來說），但是用我前面講到的內容已經足夠解決，甚至可以用不止一種方法解決。
為方便計算，這里給出具體數值，H=3m,L=3m,v=1m/s，答案可以符號解也可以用數值解
運動這章到這里結束，下一章可能講牛頓定律

189783

感謝分享

122125

感謝分享，更新了~

212184

感謝分享

206444

感謝分享

94808

感謝分享

210546

感覺分享

214161

感謝

172158

感謝分享

208870

感謝分享