警察在處理案子時(shí)總會(huì)遇到許多難題，其中之一就是根據(jù)犯罪現(xiàn)場(chǎng)的蛛絲馬跡還原出兇手作案時(shí)的完整情況。他們要從海量的干擾信息中篩選出對(duì)案件有幫助的，再通過分析這些信息推斷出正確的結(jié)論。
這正是數(shù)學(xué)拯救世界的時(shí)刻。從現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的數(shù)據(jù)可以使用小波、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)等方法進(jìn)行儲(chǔ)存與解讀。對(duì)于警察來說，數(shù)學(xué)最重要的功能是通過對(duì)數(shù)據(jù)的各種變換處理，一舉找到真正有用的信息。根據(jù)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的分析，警方往往要逆向地還原出案發(fā)時(shí)的場(chǎng)景，確定誰(shuí)才是嫌疑犯。這個(gè)要倒過來的過程，在數(shù)學(xué)上被稱為反問題。接下來我們就通過列舉幾個(gè)實(shí)例來展示數(shù)學(xué)是如何在偵查領(lǐng)域立下戰(zhàn)功的。
算出車禍時(shí)的汽車行駛速度
交通事故可謂是世界上最頻發(fā)的案件，而案發(fā)時(shí)的車速則是衡量事故責(zé)任的重要依據(jù)之一。
一般來說，警察在交通事故現(xiàn)場(chǎng)能夠獲得的信息不外乎車輛被損壞的程度、目擊者描述以及車胎的印記。但倘若沒人看到，誰(shuí)來判斷這是意外車禍還是蓄意謀殺？但如果車主真的踩了剎車（也就是意外車禍），輪胎痕跡是不會(huì)說謊的。通常“踩過剎車”的輪胎痕跡應(yīng)該呈現(xiàn)一個(gè)“三段式”的特征：
通過前后輪胎痕判斷軸距（示意圖）
滾印-壓印-拖印。由于汽車的制動(dòng)力是逐漸加強(qiáng)的，所以在司機(jī)踩下制動(dòng)的時(shí)候，胎痕首先會(huì)從滾印變成壓印，而后車胎“抱死”，拖印也就在這個(gè)時(shí)候出現(xiàn)了。因此，只要測(cè)量壓印和拖印出現(xiàn)的時(shí)間和特征，就可以很輕易地得知汽車是否剎車，以及是何時(shí)開始剎車的了
如果我們只關(guān)心車速，那只要測(cè)出制動(dòng)拖印長(zhǎng)度（即剎車距離）和地面的摩擦系數(shù)，就可以請(qǐng)出牛頓經(jīng)典力學(xué)登場(chǎng)解決問題了。也許這是一個(gè)高中生都會(huì)做的物理題，但它的確在事故調(diào)查中發(fā)揮了很大作用。
實(shí)際中，交警的估算要復(fù)雜很多，比如剎車過程中，摩擦系數(shù)（實(shí)際中稱為附著系數(shù)）會(huì)隨著汽車制動(dòng)的過程而發(fā)生變化，這時(shí)就需要大量的實(shí)踐總結(jié)，用一個(gè)可靠的經(jīng)驗(yàn)公式來修正。而如果事故是發(fā)生在積水較深的路面上，積水的影響則不容忽視（水滑現(xiàn)象），這時(shí)候的計(jì)算則需要引入水壓強(qiáng)以及水和胎面間迎擊面長(zhǎng)度這些變量。
還原歹徒車牌號(hào)碼
“緊急！緊急！城南方向有一家珠寶店被搶劫了！”大家紛紛武裝到牙齒，摩拳擦掌，準(zhǔn)備去和歹徒搏斗。可是等等，哪輛車才是歹徒駕駛的？
好消息是攝像頭拍下了汽車逃逸時(shí)的畫面。
壞消息是那個(gè)畫面看不清楚。
別擔(dān)心，這時(shí)候數(shù)學(xué)又大顯神威了。我們可以認(rèn)為，看不清的圖像就是清晰圖像經(jīng)過“模糊”過程后得到的結(jié)果。用數(shù)學(xué)的話來說就是，“模糊”可以看做是一個(gè)函數(shù)。只要我們能夠知道這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，就可以設(shè)法逆向地還原出清晰的圖像。我們同樣可以用函數(shù)來表示清晰圖像與模糊圖像，分別記為 f 和 h ，而把模糊過程記為 g。那么一般而言，這個(gè)模糊過程的模型就是如下這樣：
在上式中，x 表示任意一個(gè)像素， f( x ) 是清晰圖像中每個(gè)像素的圖像， h( x ) 就是模糊圖像中每個(gè)像素的圖像。如果我們能夠知道 g( y ) 的詳細(xì)情況（這可以根據(jù)汽車的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況模擬得出），那么便能夠通過 h( x ) 解出 f( x )。下圖是用數(shù)學(xué)方法得到的清晰圖像與抓住歹徒后拍攝的真實(shí)圖像，是不是感到還原度非常高呢？
從算出連環(huán)殺手的住處到確定傳染病的傳染源
連環(huán)殺人犯總讓人都感到恐慌，尤其是當(dāng)你和他同處一城的時(shí)候。如何根據(jù)已有的犯罪地點(diǎn)、時(shí)間等數(shù)據(jù)，推測(cè)出兇手的家在哪里？
在美劇 《NUMB3RS》 的第一集里就出現(xiàn)了這樣的情節(jié)。然而與一般警局不同的是，他們請(qǐng)來了一位數(shù)學(xué)家，這位數(shù)學(xué)家就使用了犯罪地理學(xué)中如下的公式，計(jì)算出了連環(huán)殺手可能的住處。
其中 | X i - x n | + | Y i - y n | 表示的是點(diǎn) ( X i , Y i ) 到第 n 個(gè)犯罪地點(diǎn) ( x n , y n ) 的 曼哈頓距離 。其中還有三個(gè)常數(shù) f , g , k ，則大概是經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)或由計(jì)算機(jī)擬合得到的。這個(gè)公式計(jì)算出來的 p i,j 就表示犯罪住處位于 ( X i , Y i ) 的概率。
這么一大塊公式看起來很神奇，它是怎么得到的？實(shí)際上，通過對(duì)犯罪心理學(xué)的研究，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)犯罪分子在作案時(shí)有兩個(gè)比較明顯的特征：
1.考慮到成本，便捷性以及對(duì)周圍環(huán)境的熟悉，他們不會(huì)在離自己住所太遠(yuǎn)的地方作案——實(shí)際上 70% 的連環(huán)殺人犯都會(huì)在離住所兩英里內(nèi)的區(qū)域作案.
2.為了安全起見，不留下讓警察懷疑到自己的蛛絲馬跡，連環(huán)殺人犯也不會(huì)貿(mào)然對(duì)自己的鄰居下手。
上述的公式就是在這樣的大框架內(nèi)得出來的，并且在實(shí)際運(yùn)用中效果也很不錯(cuò)。
有趣的是，這個(gè)本用來抓捕犯人的數(shù)學(xué)公式竟然還能用到對(duì)傳染病的控制上！衛(wèi)生部門希望在傳染病剛剛流行的時(shí)候就能夠找到傳染病的源頭，從而在造成更大影響之前將其撲滅。巧合的是，傳染病的傳播特征和罪犯選擇作案地點(diǎn)的特征非常相似。無論是什么樣的傳染病，都需要生活在寄主體內(nèi)，基本不可能在空氣中長(zhǎng)久地漂浮，所以它們不會(huì)感染離源頭太遠(yuǎn)的地方。又因?yàn)閭魅静≡床荒馨俜职俦ＷC感染遇見的每一個(gè)寄主，所以它們需要從源頭擴(kuò)散到一定的距離才能找到適合生存的新環(huán)境——“不能太遠(yuǎn)也不能太近”，這和連環(huán)殺手的作案風(fēng)格如出一轍。在這里，數(shù)學(xué)又一次出人意料地在看起來不相關(guān)的領(lǐng)域大展拳腳。
引用 本文對(duì)一些現(xiàn)代的數(shù)學(xué)破案方法做了一個(gè)概括的介紹，但沒有詳細(xì)地解釋具體細(xì)節(jié)。這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中涉案的諸多因素都很復(fù)雜，并且絕大多數(shù)情況下這些方法需要借助計(jì)算機(jī)模擬，并非一兩段話就能夠說明詳情。
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