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原文作者：Matrix67
大家一定見過很多“我不知道，我也不知道，我還是不知道，我還是不知道，我知道了，我也知道了”的問題。但是，我想大家一定沒有見過下面這樣的問題。
A 、 B 兩人在主持人 C 的帶領(lǐng)下玩一個游戲。 C 向兩人宣布游戲規(guī)則：“一會兒我會隨機(jī)產(chǎn)生兩個不同的形如 n – 1/2k – 1/2k+r 的數(shù)，其中 n 、 k 是正整數(shù)， r 是非負(fù)整數(shù)。然后，我會把這兩個數(shù)分別交給你們。你們每個人都只知道自己手中的數(shù)是多少，但不知道對方手中的數(shù)是多少。你們需要猜測，誰手中的數(shù)更大一些?！边@里，我們假設(shè)所有人的邏輯推理能力都是無限強(qiáng)的，并且這一點本身也成為了共識。 C 按照規(guī)則隨機(jī)產(chǎn)生了兩個數(shù)，把它們交給了 A 和 B ，然后問他們是否知道誰手中的數(shù)更大。于是有了這樣的一段對話。
引用 A ：我不知道。
B ：我也不知道。
A ：我還是不知道。
B ：我也還是不知道。
C ：這樣下去是沒有用的！可以告訴你們，不管你們像這樣來來回回說多少輪，你們?nèi)匀欢紱]法知道，誰手中的數(shù)更大一些。
A ：哇，這個信息量好像有點兒大！不過，即使知道了這一點，我還是不知道誰手中的數(shù)更大。
B ：我也還是不知道。
A ：我繼續(xù)不知道。
B ：我也繼續(xù)不知道。
C ：還是套用剛才的話，不管你們像這樣繼續(xù)說多少輪，你們?nèi)匀粵]法知道誰手中的數(shù)更大。
A ：哦……不過，我還是不知道誰手中的數(shù)更大。
B ：而且我也還是不知道。我們究竟什么時候才能知道呢？
C ：事實上啊，如果我們?nèi)齻€就像這樣繼續(xù)重復(fù)剛才的一切——你們倆互相說一堆不知道，我告訴你們這樣永遠(yuǎn)沒用，然后你們繼續(xù)互說不知道，我繼續(xù)說這不管用——那么不管這一切重復(fù)多少次，你們?nèi)匀徊恢勒l手中的數(shù)更大！
A ：哇，這次的信息量就真的大了。只可惜，我還是不知道誰的數(shù)更大一些。
B ：我也還是不知道。
A ：是嗎？好，那我現(xiàn)在終于知道誰的數(shù)更大了。
B ：這樣的話，那我也知道了。而且，我還知道我們倆手中的數(shù)具體是多少了。
A ：那我也知道了。
那么 ， C 究竟把哪兩個數(shù)給了 A 和 B ？
上面的題目明顯來自于這樣一個老題： C 隨機(jī)產(chǎn)生了兩個不同的正整數(shù)，分別交給了 A 、 B ，并讓兩人猜測誰手中的數(shù)更大。然后 A 說不知道， B 說不知道， A 說還是不知道， B 也說還是不知道，然后 A 說知道了， B 說不但知道了，而且這兩個數(shù)具體是多少都知道了。問這兩個數(shù)是多少。
解答過程并不復(fù)雜。首先， A 說了一個“不知道”。這當(dāng)然不奇怪，一開始就說“知道了”才奇怪呢。我們不妨反過來想想，什么情況下 A 一開始就會說“知道了”呢？容易想到，這一定是因為 A 手中的數(shù)是 1 。由于 C 產(chǎn)生了兩個不同的正整數(shù)，因此當(dāng) A 手中的數(shù)是 1 時，他就知道了 B 手中的數(shù)必然更大。然而， A 實際上說的是“不知道”，這說明 A 手中拿到的數(shù)不是 1 。也就是說， A 手中的數(shù)至少是 2 。
B 聽到了 A 的回答后，也推出了這一點。那么，什么情況下 B 會立即說“知道了”呢？當(dāng)然，如果 B 手中的數(shù)是 1 ，他就立即知道 A 手中的數(shù)更大了，因為 A 手中的數(shù)至少是 2 。另外，如果 B 手中的數(shù)是 2 ，他也會立即知道 A 手中的數(shù)更大——既然 A 手中的數(shù)至少是 2 ，并且又不等于自己手中的數(shù)，因而必然更大一些。當(dāng)然， B 說的實際上是“不知道”，這說明 B 手中的數(shù)至少是 3 。
A 聽到了 B 的回答后，也推出了這一點。但是， A 又說了個“不知道”。這說明， A 拿到的既不是 2 ，也不是 3 ，否則他都能推出 B 手中的數(shù)更大。因此， A 手中的數(shù)至少是 4 。同理，根據(jù) B 的下一個“不知道”可以推出， B 手中的數(shù)既不是 3 ，也不是 4 ，至少是 5 。此時， A 說“知道了”。這說明， A 手中的數(shù)肯定是 4 和 5 當(dāng)中的一個，他據(jù)此推出了 B 手中的數(shù)更大。但是， B 為什么能緊接著推出 A 手中的數(shù)具體是多少呢？這一定是因為， B 手中的數(shù)就是 5 ，因而能斷定 A 手中的數(shù)只可能是 4 。所以， A 、 B 兩人手中的數(shù)分別是 4 和 5 。
這就是舊版的題目。它和本文最開頭的那個新版的題目有什么聯(lián)系呢？用下面兩張圖來說明真是再合適不過了。在舊版的題目中，把兩人手中可能的數(shù)（也就是 C 能產(chǎn)生出來的數(shù)）全都標(biāo)在數(shù)軸上，那大概是這樣：
而在新版的題目中，把兩人手中可能的數(shù)（也就是 C 能產(chǎn)生出來的數(shù)）全都標(biāo)在數(shù)軸上，則大概是這樣：
你會發(fā)現(xiàn)這種情況非常有意思。最小的一批數(shù)是 0, 1/4, 3/8, 7/16, … ，這樣數(shù)下去會有無窮多個數(shù)。但是，這無窮多個數(shù)的后面還有 1/2, 5/8, 11/16 等數(shù)，而且這一系列數(shù)本身又是無窮多的；在這無窮多個數(shù)的后面又還有 3/4, 13/16 等數(shù)，它們也有無窮多個……事實上，我們會遇到無窮多個類似于這樣的無窮多個數(shù)，而最關(guān)鍵的就是，在這無窮多個無窮的后面，還有 1, 5/4, 11/8 等數(shù)。在新版的題目中， A 、 B 、 C 之間的游戲就是在這樣的“場所”上進(jìn)行的。
和舊題類似，在新題中，兩人一遍又一遍地宣稱自己“不知道”，本質(zhì)上就是對序列 0, 1/4, 3/8, 7/16, … 從前往后進(jìn)行排除。然而， C 跳出來說“這樣下去是沒有用的”，就意味著任何一方手上的數(shù)都不可能是該序列里的數(shù)，本質(zhì)上相當(dāng)于幫兩人一下子排除掉了這無窮多種可能。如果此時 A 說自己“知道了”，那一定是因為他手里拿著的是除掉這無窮多個數(shù)之后剩下的最小的數(shù)，即 1/2 。然而， A 仍然說自己“不知道”，并且 B 也繼續(xù)說自己“不知道”，并如此往復(fù)。此時，他們就相當(dāng)于是在序列 1/2, 5/8, 11/16, … 上斗智了。而 C 又說了一遍剛才的話，本質(zhì)上相當(dāng)于又幫兩人把這一系列數(shù)都排除掉了。兩人繼續(xù)開始考慮下一系列數(shù)的可能。
最后， C 告訴兩人，這個模式重復(fù)多少次都不管用。于是，再下一系列的數(shù)，再下一系列的數(shù)，以及后面無窮多個系列的數(shù)，都被排除掉了。兩人都知道了，他們手上的數(shù)都至少是 1 。當(dāng) A 再次說“不知道”的時候，說明他手中的數(shù)不是 1 ； B 再次說“不知道”，說明他手中的數(shù)既不是 1 也不是 5/4 ； A 說“知道了”，說明他手中的數(shù)是 5/4 和 11/8 中的一個； B 連具體的數(shù)也推出來了，說明此時 B 手上的數(shù)就是 11/8 。所以，兩人手上的數(shù)分別是 5/4 和 11/8 。
本文的問題出自這里，有改動。知道序數(shù)理論的朋友或許會意識到，這是引入序數(shù)概念的一個絕佳的例子。文中的很多細(xì)節(jié)之處缺乏形式化描述，這使得題目和解答都有商討的空間。 | 