哈曼頓計(jì)量法

55328

從美國(guó)紐約帝國(guó)大廈到紐約聯(lián)合國(guó)總部有多遠(yuǎn)？

那要看情況了。

你有翅膀嗎？

如果沒(méi)有，你就不得不坐出租車(chē)，然后遵循街道的網(wǎng)格模式前進(jìn)。

你將向東走大約8個(gè)街區(qū)，向北走9個(gè)街區(qū)，總共17個(gè)街區(qū)，才能到達(dá)目的地。

這種只在南北(或垂直)和東西(或水平)方向計(jì)算距離的算法，就是由十九世紀(jì)赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的計(jì)程車(chē)幾何，也叫曼哈頓距離算法，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和。

那么怎么使用曼哈頓距離算法計(jì)算距離呢？

首先，讓我們從我們所知道的開(kāi)始。

我們知道在歐幾里德幾何中，我們使用的是一個(gè)非常熟悉的距離公式來(lái)尋找兩點(diǎn)之間的距離。這個(gè)公式是：



現(xiàn)在，在出租車(chē)幾何中，我們不能利用這個(gè)公式，因?yàn)樵诔鲎廛?chē)幾何中，你不能穿過(guò)街區(qū)——你必須計(jì)算街區(qū)數(shù)才能找到距離。

看看這個(gè)例子…

下面是一個(gè)城市街道網(wǎng)格圖。

所有的街道都是平行或垂直的，所有的城市街區(qū)都是大小相等的。



約翰在A點(diǎn)，鮑勃在b點(diǎn)。

距離是通過(guò)計(jì)算從A點(diǎn)到b點(diǎn)的最小城市街區(qū)數(shù)來(lái)測(cè)量的。

約翰需要走多少個(gè)街區(qū)去找鮑勃？

這是唯一的路線嗎？

約翰能走多條路線去找鮑勃？

答案是，約翰必須經(jīng)過(guò)6個(gè)街區(qū)，他可以通過(guò)多條線路去找鮑勃，但是不管走哪條路，最快的路都必須經(jīng)過(guò)7個(gè)街區(qū)。

如下圖所示：



從上圖我們可以看到，約翰有多種路線可以選擇，其中最短的距離是經(jīng)過(guò)6個(gè)街區(qū)，當(dāng)然如果他喜歡，他可以選擇走更長(zhǎng)的路，經(jīng)過(guò)7個(gè)街區(qū)。

如果假設(shè)，約翰可以穿過(guò)街區(qū)，我們假設(shè)那里有開(kāi)放的公園，或者他會(huì)飛。

那么最短距離是多少？

用什么公式可以幫助我們計(jì)算出這個(gè)距離？





利用畢達(dá)哥拉斯定理，計(jì)算出最短的距離是五個(gè)街區(qū)（紅線表示）。

從上面兩個(gè)例子我們可以看到，在出租車(chē)幾何中，除非你能穿越大樓，才能走直線最短距離，否則必須遵循城市街道的網(wǎng)格模式前進(jìn)。

言歸正傳。

如果我們讓兩點(diǎn)a(x1,y1)與b(x2,y2)成為笛卡平面上的點(diǎn)，我們?nèi)绾握业铰D距離的公式？

你可以試著在筆記本上畫(huà)一畫(huà)，

最終，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在出租車(chē)幾何中要計(jì)算二維平面兩點(diǎn)之間距離的最佳公式是:



要注意的是，曼哈頓距離依賴座標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)度，而非系統(tǒng)在座標(biāo)軸上的平移或映射。

那么，歐氏距離和曼哈頓距離是一樣的嗎？

是的，沒(méi)錯(cuò)，只要當(dāng)計(jì)算的點(diǎn)位于同一條垂直線或水平線上時(shí)，我們計(jì)算出的距離結(jié)果是相同的，不管我們使用什么公式。

那么，曼哈頓距離可以用來(lái)計(jì)算圓形嗎？

讓我們看看。



上圖是一個(gè)半徑為2的圓，它固定在該平面上。

現(xiàn)在，出租車(chē)幾何形狀是怎么樣的？

這個(gè)圓仍然半徑不變，但是它可以呈現(xiàn)出不同的形狀。



這個(gè)圓，現(xiàn)在看起來(lái)像一個(gè)正方形！

其他形狀呢？他們會(huì)是什么樣子？

雙曲線怎么樣？

假設(shè)約翰和鮑勃想在周末見(jiàn)面，但是約翰必須比鮑勃少走3個(gè)街區(qū)(假設(shè)他腿受傷了)。

那么，他們可能相遇的所有地點(diǎn)在哪里？



上圖紅線上的所有點(diǎn)（街區(qū)）都符合要求，約翰只需要經(jīng)過(guò)2個(gè)街區(qū)，鮑勃需要經(jīng)過(guò)5個(gè)街區(qū)，就可以和約翰相遇。

以上，如有不懂的，可以評(píng)論中回復(fù)，有空我會(huì)解答。

52728

為什么我一個(gè)圖都看不見(jiàn)

58434

題目沒(méi)法改了嘛，曼哈頓

73321

沒(méi)圖？

67289

全程沒(méi)圖

67289

額，哈曼頓？不是曼哈頓

51193

樓樓，圖啊

79881

都沒(méi)圖，很難了解

80303

看不到圖片為啥

77397

沒(méi)有圖那你從發(fā)一遍，然后把這個(gè)刪了