【簡(jiǎn)單物理入門(mén)】運(yùn)動(dòng)（3）

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零·三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
        根據(jù)我們第一篇中導(dǎo)數(shù)的定義，可以得到sin' x=[sin(x+△x)-sin x]/△x=(sin x cos△x+cos x sin△x-sin x)/△x
        當(dāng)△x趨近于0的時(shí)候，cos △x趨近于1，sin △x趨近于△x （一階小量）
        因此sin' x=cos x
        同理可以算出 cos' x=-sin x，過(guò)程可以當(dāng)做練習(xí)。
        導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算。
        [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
        [f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
        [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
        如果函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，f'[g(x)]=f'(x)*g'(x)，
        因此我們可以計(jì)算 tan' x=(sin x/cos x)'=(sin' x cos x-sin x cos' x)/(cos x)^2=1/(cos x)^2
       
一·加速度
        速度是位置的變化率，那么加速度就是速度的變化率，只要速度對(duì)時(shí)間再求一階導(dǎo)就可以算出加速度了。
        假設(shè)物體勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，x=2t^2,那么我們求一階導(dǎo)，v=4t，再求一階導(dǎo) a=4，可以得出該物體是初速度為0，初位置為0，加速度為4的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。
       
二·自由落體和平拋運(yùn)動(dòng)
        自由落體是初速度為0，只受重力影響有一個(gè)向下的加速度，重力加速度用 g 表示，一般取 g=9.8m/(s)^2,
        我們反過(guò)來(lái)，由加速度推下落距離。y取向下為正
        初速度為0，初位置為0，t時(shí)刻的速度很好判斷，v=gt，因?yàn)檫@是一個(gè)勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所以 v 和 t 成正比。
        v是變速，這個(gè)時(shí)候求位移一般要通過(guò)積分，但是我還沒(méi)講，這里我們利用 v 和 t 成正比的特點(diǎn)，作個(gè)v-t圖，顯然，每一時(shí)刻經(jīng)過(guò)的距離就是v-t曲線(xiàn)下所圍的面積，那么經(jīng)過(guò)t，下面所圍的面積是一個(gè)三角形，因此 y=0.5vt=0.5gt^2,
        平拋運(yùn)動(dòng)則是自由落體的同時(shí)給物體一個(gè)水平的初速度v0，根據(jù)我們上一章所講的速度合成與分解，可以輕易地把運(yùn)動(dòng)分解為水平勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和豎直自由落體的合成，得到x=v0t,y=0.5gt^2

三·角速度
        在有些時(shí)候，物體的運(yùn)動(dòng)不一定是直線(xiàn)，或者分解成直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)很麻煩，我們可以從角度去分析。將物體和參照物連線(xiàn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，再連線(xiàn)，兩個(gè)連線(xiàn)間轉(zhuǎn)過(guò)的角度就是角位移，記作θ，那么角速度就是角位移除以時(shí)間t，ω=θ/t，其余類(lèi)似的都可以近似直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移和速度去分析。

四·勻速圓周運(yùn)動(dòng)
        勻速圓周運(yùn)動(dòng)指在圓周上往一個(gè)方向以恒定速度 v運(yùn)動(dòng)。
        那么當(dāng)角度為θ時(shí)，x=r cosθ，y=r sinθ，對(duì)x,y分別求導(dǎo)得到x,y方向的速度，（注意vx=-r sinθ,vy=r cosθ是錯(cuò)的，因?yàn)槲覀儾皇菍?duì)θ求導(dǎo)而是對(duì)t求導(dǎo)，因此得到的結(jié)果根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則還要再乘一個(gè)角度對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)也就是角速度），vx=-ωr sinθ，vy=ωr cosθ，根據(jù)速度的合成v,vx,vy是一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理，v^2=vx^2+vy^2=(ωr)^2，v=ωr，我們得到了角速度與速度和半徑的關(guān)系。
        v再對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)，ax=-ω^2*r cosθ,ay=-ω^2*r sinθ，勾股合成 a=ω^2*r，也就是說(shuō)加速度等于角速度的平方乘半徑，你畫(huà)一下圖也可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)加速度的方向始終指向圓心，如果不想畫(huà)圖就取θ=0，ax=-ω^2*r，ay=0，發(fā)現(xiàn)在0位置加速度指向圓心，沒(méi)有切向加速度，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以知道加速度始終指向圓心，這就是向心加速度。

習(xí)題
岸邊有一小船，岸角上有一個(gè)定滑輪，岸比水面高H，小船離岸邊水平距離L，小船一頭接繩子繞過(guò)滑輪被岸上的人以速度v拉著走，求：
（1）小船的速度
（2）小船的加速度

本題為我初入高中時(shí)加入物理興趣小組選拔試題的壓軸題，第二小題有一定難度（對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)），但是用我前面講到的內(nèi)容已經(jīng)足夠解決，甚至可以用不止一種方法解決。
為方便計(jì)算，這里給出具體數(shù)值，H=3m,L=3m,v=1m/s，答案可以符號(hào)解也可以用數(shù)值解
運(yùn)動(dòng)這章到這里結(jié)束，下一章可能講牛頓定律

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